한 변수 함수의 경우 어떤 점에서의 극한은 좌극한과 우극한이 동일한지만 확인하면 됐지만 이 변수 함수의 경우 그래프가 3차원이기 때문에 모든 방향에서 극한이 같아야 하기 때문에 결정하기가 조금 어렵다.
예 5.1. 다음의 극한을 알아보세요.풀. x축을 따라 이동하면 항상 y=0이므로 극한은 1로 간다. 반대로 y축을 따라 이동하면 항상 x=0이므로 극한이 -1로 간다. 따라서 두 경로에서 극한 값이 다르기 때문에 이 극한 값은 존재하지 않는다.
예 5.2. 다음의 극한을 조사해 보세요. 해. 이 극한은 x축과 y축, 임의의 y=mx직선에 대해 조사해 봐도 0이 나온다. 그러나 곡선 y=xx를 따라 이동하는 경로를 고려해 볼 때 lim(x→0)x2/2×2=1/2가 나오므로 이 극한의 값은 존재하지 않는다.
예 5.3. 다음의 극한을 조사해 보세요. 해. 이 극한을 조사하기 위해 다음의 부등식을 이용한다. xy00과 xy<0일 때 x2+y2-|xy|를 완전평방식과 제곱의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 그러면 다음과 같다.따라서 다음과 같다.우변의 3|x|는 경로에 관계없이 극한값이 0으로 가고 좌변의 절대값이 우변보다 작다고 하였으므로 좌변의 극한값도 0이어야 한다.
이 변수 함수의 편미분 또는 편도 함수는 다음과 같이 정의한다.다음 그림을 보면 이 값이 y가 고정되어 이동할 때 점(a,b)에서의 접선의 기울기가 됨을 알 수 있다.
fx(a,b)>0이라는 의미는 점(a,b,f(a,b))에서 양의 x축 쪽으로 이동할 경우 함수가 증가한다는 뜻이다. 임의의 방향으로의 증가와 감소는 x축과 y축으로의 증가와 감소가 결정되면 모두 결정된다. 이를 방향도 함수(directionalderivative)라고 한다.
복수회 편미분할 경우 다음과 같이 표기한다.fxy와 fyx는 항상 같지 않다.
정리 5.1. 클레로 정리(Clairaut’s Theorem)
f가 점(a,b)을 포함하는 영역 D에서의 함수로 하자. f가 이 영역에서 연속하는 이계편도함수를 갖는 경우, fxy(a,b)=fyx(a,b)이다.
이후의 서술은 모두 fxy=fyx의 경우로 보고 진행한다.